Question

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到一條漸近線l的距離為4，若漸近線l恰好是曲線y=x³-3x²+2x在原點處的切線，則雙曲線的標準方程為

 

．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義：切點處的導數(shù)值是切線的斜率，求出在原點處的切線．再根據(jù)雙曲線的焦點坐標，求得a和b的關系，進而代入焦點到漸近線的距離，求得a和b，則雙曲線的漸近線方程可得．

解答：解：f′（x）=3x²-6x+2．設切線的斜率為k．
切點是原點，k=f′（0）=2，所以所求曲線的切線方程為y=2x．
∵雙曲線的一條漸近線方程是 y=2x，
∴

b

a

=2
又∵

|2c|

22+12

=

|2c|

5

=4
∴c=2

5

，∵c²=a²+b²
∴a²=4  b²=16
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

16

=1
故答案為

x2

4

-

y2

16

=1．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查運算求解能力、推理能力，還考查了雙曲線的簡單性質，點到直線的距離，屬于基礎題．