Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側棱，，M、N兩點分別在側棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數學知識，考查學生用向量法解決立體幾何的能力，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.第一問，連結AC、BD交于O，則在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三邊長，可知，利用線面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空間直角坐標系，得到各個點的坐標，得到和平面MNC的法向量的坐標，可求出//，所以平面MNC；第二問，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐標，利用夾角公式得到夾角的余弦值.
試題解析：設菱形對角線交于點，易知且
又.由勾股定理知，
又
 平面                      3分
建立如圖空間直角坐標系，，
，，
，                    5分

⑴顯然，，平面的法向量
，由∥，知平面            8分    
⑵設面的法向量為 由
取，得                             10分

所以平面與平面的夾角的余弦值為.    12分