Question

【題目】已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1．直線l：y=2x+2被圓M所截得的弦長為 ，且圓心M在直線l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設A（t，0），B（t+5，0）（﹣4≤t≤﹣1），若AC，BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（0，b）由題設知，M到直線l的距離是 =

所以 = ，解得b=1或b=3

因為圓心M在直線l的下方，所以b=1，

即所求圓M的方程為x2+（y﹣1）2=1

（2）解：當直線AC，BC的斜率都存在，即﹣4＜t＜﹣1時

直線AC的斜率kAC=tan2∠MAO= = ，

同理直線BC的斜率kBC=

所以直線AC的方程為y= （x﹣t），

直線BC的方程為y= （x﹣t﹣5）

解方程組

得x= ，y=

所以y= =2﹣

因為﹣4≤t≤﹣1

所以﹣ ≤t2+5t+1＜﹣3

所以 ≤y＜ ．

故當t=﹣ 時，△ABC的面積取最小值 ×5× = ．

當直線AC，BC的斜率有一個不存在時，即t=﹣4或t=﹣1時，易求得△ABC的面積為 ．

綜上，當t=﹣ 時，△ABC的面積的最小值為 ．

【解析】（1）先設點M的坐標，再根據弦長可得點M到直線l的距離，進而可得b的值，從而可得圓M的方程；（2）當直線AC，BC的斜率都存在時，由已知條件可得直線AC和直線BC的方程，解方程組可得點C的坐標，進而可得△ABC面積，從而可得△ABC面積的最小值，當直線AC，BC的斜率有一個不存在時，易得△ABC面積，綜上所述，可得△ABC的面積的最小值．