Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，橢圓 的離心率，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知， ，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）利用拋物線C1：y2＝2px上一點(diǎn)M（3，y0）到其焦點(diǎn)F的距離為4；求出p，即可得到拋物線方程，通過(guò)橢圓的離心率e＝，，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F（1，0）求出a，b，即可得到橢圓的方程；

（2）直線l1的斜率必存在，設(shè)為k，設(shè)直線l與橢圓C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線l的方程為y=k（x-1），N（0，-k），聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理以及判別式，通過(guò)向量關(guān)系式即可求出λ+μ為定值．

試題解析：

（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線為， 所以,所以

拋物線的方程為

所以，,解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)直線的斜率必存在,設(shè)為,設(shè)直線與拋物線交于

則直線的方程為,

聯(lián)立方程組:

所以 , (*)

由得:

得:

所以

將(*)代入上式,得