【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知在極坐標系中，點
，
，
是線段
的中點，以極點為原點，極軸為
軸的正半軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位，建立平面直角坐標系，曲線
的參數方程是
（
為參數）.
（1）求點的直角坐標，并求曲線的普通方程；
（2）設直線
過點交曲線于
兩點，求
的值.
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【題目】若函數
同時滿足：⑴對于定義域上的任意
，恒有
； ⑵對于定義域上的任意
，當
時，恒有
，則稱函數為“理想函數”.給出下列四個函數中： ①
，②
， ③
，④
，能被稱為“理想函數”的有_____________（填相應的序號）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，
，底面
是梯形，AB∥CD，
，AB=PD=4，CD=2，
，M為CD的中點，N為PB上一點，且
.
（1）若
MN∥平面PAD；
（2）若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為
，求異面直線AD與直線CN所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】東莞市攝影協會準備在2019年10月舉辦主題為“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭記錄國強民富的幸福生活，向祖國母親的生日獻禮，攝影協會收到了來自社會各界的大量作品，打算從眾多照片中選取100張照片展出，其參賽者年齡集中在
之間，根據統計結果，做出頻率分布直方圖如圖：
（1）求頻率分布直方圖中
的值，并根據頻率分布直方圖，求這100位攝影者年齡的樣本平均數
和中位數
（同一組數據用該區間的中點值作代表）；
（2）為了展示不同年齡作者眼中的祖國形象，攝影協會按照分層抽樣的方法，計劃從這100件照片中抽出20個最佳作品，并邀請相應作者參加“講述照片背后的故事”座談會.
①在答題卡上的統計表中填出每組相應抽取的人數：
年齡 |
|
|
|
|
|
人數 |
②若從年齡在
的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊，求這2人至少有一人的年齡在
的概率.
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【題目】函數
的部分圖像如圖所示，將
的圖象向右平移
個單位長度后得到函數
的圖象.
（1）求函數
的解析式；
（2）在
中，角A,B,C滿足
，且其外接圓的半徑R=2，求
的面積的最大值.
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【題目】為了參加某數學競賽，某高級中學對高二年級理科、文科兩個數學興趣小組的同學進行了賽前模擬測試，成績(單位：分)記錄如下．
理科：79,81,81,79,94,92,85,89
文科：94,80,90,81,73,84,90,80
畫出理科、文科兩組同學成績的莖葉圖；
(2)計算理科、文科兩組同學成績的平均數和方差，并從統計學的角度分析，哪組同學在此次模擬測試中發揮比較好；
(3)若在成績不低于90分的同學中隨機抽出3人進行培訓，求抽出的3人中既有理科組同學又有文科組同學的概率．
(參考公式：樣本數據x1，x2，…，xn的方差：
s2＝
[(x1－
)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為樣本平均數)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過
的直線
交橢圓于
，
兩點，試問：是否存在一個定點
，使得以
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘的正中央.從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘的間隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.
（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？
（Ⅱ）一數學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數為
，求的分布列與數學期望.
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