Question

【題目】2019年國慶節假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統計了10月1日7：00﹣23：00這一時間段內顧客購買商品人次，統計發現這一時間段內顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7：0011：00，11：0015：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數t與平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）由頻率分布直方圖可以近似認為國慶節假期期間該商場顧客購買商品時刻服從正態分布N（μ，δ2），其中μ近似為，δ＝3.6，估計2019年國慶節假期期間（10月1日﹣10月7日）該商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的總人次（結果保留整數）；

（3）為活躍節日氣氛，該商場根據題中的4個時間段分組，采用分層抽樣的方法從這5000個樣本中隨機抽取10個樣本（假設這10個樣本為10個不同顧客）作為幸運客戶，再從這10個幸運客戶中隨機抽取4人每人獎勵500元購物券，其他幸運客戶每人獎勵200元購物券，記獲得500元購物券的4人中在15：00﹣19：00之間購買商品的人數為X，求X的分布列與數學期望；

參考數據：若T～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973.

Answer 1

【答案】（1）16,15.8；（2）23895；（3）分布列見解析，

【解析】

（1）中位數t∈（15，19），4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，再計算平均值得到答案.

（2）根據正態分布得到P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，計算得到答案.

（3）X可能取值為0，1，2，3，4，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.

（1）根據題意，中位數t∈（15，19），

由4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，得t＝16，

4（9×0.025+13×0.075+17×0.100+21×0.050）＝15.8；

（2）商場顧客購買商品時刻服從正態分布N（15.8，3.62），μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，

所以2019年國慶節假期期間，商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的概率為：

P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，所以人數為5000×0.6827×7≈23895；

（3）根據題意X可能取值為0，1，2，3，4，

P（X＝0），P（X＝1），

P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），

X的分布列如下

X	0	1	2	3	4
P

E（X）＝012.