Question

（本小題滿分12分）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點.
(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

(1) 證法一：取的中點，連.

∵為的中點，∴且.
∵平面，平面，
∴，∴.                  
又，∴.             
∴四邊形為平行四邊形，則.   
∵平面，平面，
∴平面.                         
證法二：取的中點，連.
∵為的中點，∴.                    
∵平面，平面，∴.           
又，
∴四邊形為平行四邊形，則.               
∵平面，平面，
∴平面，平面.
又，∴平面平面.            
∵平面，
∴平面.                    
(2) 證：∵為等邊三角形，為的中點，∴.    
∵平面，平面，∴.          
又，故平面.                  
∵，∴平面.                      
∵平面，
∴平面平面.                 (3)
解：在平面內，過作于，連.
∵平面平面， ∴平面.
∴為和平面所成的角.                 
設，則，
，
R t△中，.
∴直線和平面所成角的正弦值為.               
方法二：設，建立如圖所示的坐標系，

則.
∵為的中點，∴.             
(1) 證：，       
∵，平面，∴平面. 
(2) 證：∵，       
∴，∴.    
∴平面，又平面，
∴平面平面.                  
(3) 解：設平面的法向量為，由可得：
，取.     
又，設和平面所成的角為，則
.
∴直線和平面所成角的正弦值為.           

略