Question

已知三次函數f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上單調遞增，則

a+b+c

b-a

的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由題意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，將此代入

a+b+c

b-a

，將式子進行放縮，以

b

a

為單位建立函數關系式，最后構造出運用基本不等式的模型使問題得到解決．

解答：解：由題意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（當且僅當t=4，即b=4a=4c時取“=”）
故答案為：3

點評：本題考查了利用導數工具研究三次函數的單調性以及函數與方程的綜合應用問題，屬于中檔題．