Question

已知橢圓Ω的離心率為

1

2

，它的一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合．
（1）求橢圓Ω的方程；
（2）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上過點（x₀，y₀）的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
①過直線l：x=4上點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過定點C；
②是否存在實數λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程，拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），從而得到c=1，再由離心率，能求出橢圓Ω的方程．
（2）①設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），則可得切線方程，由此推導出直線AB的方程是x+

t

3

y=1，從而可得結論；
②將直線AB的方程x+

t

3

y=1與橢圓方程聯立，求出|AC|，|BC|，利用韋達定理，即可得到結論．

解答：（1）解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），故c=1，
又∵

c

a

=

1

2

，∴a=2，b=

a2-c2

=

3

，
∴所求的橢圓Ω的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①證明：設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵兩切線均過M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即點A，B的坐標都適合方程x+

t

3

y=1
而兩點之間確定的唯一的一條直線，
∴直線AB的方程是x+

t

3

=1，
對任意實數t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線恒過定點C（1，0）．
②將直線AB的方程x+

t

3

y=1與橢圓方程聯立，可得（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0
∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

不妨設y₁＞0，y₂＜0，則|AC|=

(x1-1)2+y12

=

t2+9

3

y1
同理|BC|=-

t2+9

3

y2
∴

1

|AC|

+

1

|BC|

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

即|AC|+|BC|=

4

3

•|AC|•|BC|，
故存在λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．