Question

過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交拋物線于點，若為線段的中點，則雙曲線的離心率為（ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

解析試題分析：解：設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）
因為拋物線為y²=4cx，所以F'為拋物線的焦點
因為O為FF'的中點，E為FP的中點，所以OE為△PFF'的中位線，
屬于OE∥PF'因為|OE|=a，所以|PF'|=2a
又PF'⊥PF，|FF'|="2c" 所以|PF|="2b"
設P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x="2a-c" ，過點F作x軸的垂線，點P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，e=,選D.
考點：本試題主要考查了雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查拋物線的定義，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．
點評：解決該試題的關鍵是雙曲線的右焦點的坐標為（c，0），利用O為FF'的中點，E為FP的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設P（x，y） 過點F作x軸的垂線，由勾股定理得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率