Question

設函數，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）討論g（t）在區間（-1，1）內的單調性并求極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數f（x）的導數，然后根據導數與最值的關系求出函數的最小值，從而求出g（t），
（2）首先求出函數g（t）的導數，然后根據導數與單調性和極值的關系求出g（t）在區間（-1，1）內的單調性和極值．
解答：解：（1）由題意得數
=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=（sinx-t）²+4t³-3t+4，
又由|t|≤1，可得，當sinx=t時，（sinx-t）²取得最小值，
此時函數f（x）取得最小值，即g（x）=4t³-3t+4，
（2）g（x）=4t³-3t+4，則g′（x）=12t²-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±，
列表如下：

t	（-1，-）	-	（-，）		（，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

易得g（x）在區間（-1，-）和（，1）上為增函數，在區間（-，）上為減函數，
當t=-時，g（t）取極大值為4，
當t=時，g（t）取極小值為2．
點評：熟練掌握函數的導數與單調性和極值的關系，并會熟練運用其相關性質．