Question

【題目】已知二次函數滿足f（x）=ax2+bx+c（a≠0），滿足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）函數f（x）的解析式：
（2）函數f（x）在區間[﹣1，1]上的最大值和最小值：
（3）若當x∈R時，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：f（x）為二次函數，設f（x）=ax2+bx+c，

∵f（0）=1，

∴c=1．

則f（x）=ax2+bx+1

又∵f（x+1）﹣f（x）=2x，

∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b，即2ax+a+b=2x，

由 ，解得：a=1，b=﹣1．

所以函數f（x）的解析式：f（x）=x2﹣x+1

（2）解：由（1）知 ，

根據二次函數的性質可知：開口向上，對稱軸x= ，

∴當 時，f（x）有最小值 ，

當x=﹣1時，f（x）有最大值3

（3）解：對于任意x，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，即x2﹣x+1＞3x﹣a，

將可化為：a＞3x﹣x2+x﹣1，即a＞﹣x2+4x﹣1恒成立，

設g（x）=﹣x2+4x﹣1，x∈R，可知g（x）的最大值為3，

所以：a＞3

對于任意x，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，即x2﹣x+1＞3x﹣a，

將可化為：a＞3x﹣x2+x﹣1，即a＞﹣x2+4x﹣1恒成立，

設g（x）=﹣x2+4x﹣1，x∈R，可知g（x）的最大值為3，

所以：a＞3

【解析】（1）設函數f（x）的解析式，利用待定系數法求解．（2）利用二次函數的性質求解在區間[﹣1，1]上的最大值和最小值：（3）分離參數法，將不等式轉化為二次函數的問題求解．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．