Question

已知傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)A(1,-2)和點(diǎn)B,B在第一象限,且|AB|=32.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)若直線l與雙曲線C:-y²=1(a＞0)相交于E、F兩點(diǎn),且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),求a的值;

(3)對(duì)于平面上任一點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),稱|PQ|的最小值為P與線段AB的距離.已知點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),寫出點(diǎn)P(t,0)到線段AB的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解:(1)直線AB的方程為y=x-3.

設(shè)B(x,y),由

由x＞0,y＞0得

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).

(2)由方程組得(-1)x²+6x-10=0.

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為E(x₁,y₁)、F(x₂,y₂),

則x₁+x₂=-.

又∵EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),則=4.

∴=4,即得a=2.

(3)設(shè)線段AB上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x-3)(1≤x≤4).

則|PQ|=.

令f(x)==(1≤x≤4).

①當(dāng)1≤≤4,即-1≤t≤5時(shí),

|PQ|_min=f()=;

②當(dāng)＞4,即t＞5時(shí),f(x)在［1,4］上單調(diào)遞減,

∴|PQ|_min=f(4)=;

③當(dāng)＜1,即t＜-1時(shí),f(x)在［1,4］上單調(diào)遞增,

∴|PQ|_min=f(1)=.

綜上所述,

h(t)=