Question

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為

2

3

，服用B有效的概率為

1

2

．
（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；
（Ⅱ）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用ξ表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)所給的兩種藥物對(duì)小白鼠有效的概率，計(jì)算出小白鼠有效的只數(shù)的概率，對(duì)兩種藥物有效的小白鼠進(jìn)行比較，得到甲類組的概率．
（2）由題意知本試驗(yàn)是一個(gè)甲類組的概率不變，實(shí)驗(yàn)的條件不變，可以看做是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)寫出分布列和期望．

解答：解：（1）設(shè)A_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
B_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依題意有：P（A₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，P（A₂）=

2

3

×

2

3

=

4

9

．P（B₀）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，所求概率為：
P=P（B₀•A₁）+P（B₀•A₂）+P（B₁•A₂）
=

1

4

×

4

9

+

1

4

×

4

9

+

1

2

×

4

9

=

4

9

（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2，3且ξ～B（3，

4

9

）．
P（ξ=0）=（

5

9

）³=

125

729

，
P（ξ=1）=C₃¹×

4

9

×（

5

9

）²=

100

243

，
P（ξ=2）=C₃²×（

4

9

）²×

5

9

=

80

243

，
P（ξ=3）=（

4

9

）³=

64

729

∴ξ的分布列為
∴數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

4

9

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．