Question

已知函數f（x）=x³-4x²+5x-4．
（1）求曲線f（x）在x=2處的切線方程；
（2）求經過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）求出導函數f′（x），根據導數的幾何意義可知，切線的斜率為f′（2），又切點在函數f（x）上，求出切點的坐標，根據直線的點斜式方程寫出函數f（x）在x=2處的切線方程；
（2）設切點坐標為P（a，a³-4a²+5a-4），根據導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，而點A（2，-2）在切線上，列出關于a的方程，求解a，即可得到曲線的切線方程．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x³-4x²+5x-4，
∴f′（x）=3x²-8x+5，
根據導數的幾何意義，則曲線f（x）在x=2處的切線的斜率為f′（2）=1，
又切點坐標為（2，-2），
由點斜式可得切線方程為y-（-2）=1×（x-2），即x-y-4=0，
∴求曲線f（x）在x=2處的切線方程為x-y-4=0；
（2）設切點坐標為P（a，a³-4a²+5a-4），
由（1）可知，f′（x）=3x²-8x+5，
則切線的斜率為f′（a）=3a²-8a+5，
由點斜式可得切線方程為y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根據已知，切線方程過點A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
將a=1和a=2代入①可得，切線方程為y-2=0或x-y-4=0，
故經過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程為y-2=0或x-y-4=0．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．關于曲線的切線問題，要注意審清題中的條件是“在”點處還是“過”點，是本題問題的易錯點．屬于中檔題．