Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分別為棱AA₁,CC₁的中點,則在空間中與三條直線A₁D₁,EF,CD都相交的直線(　　)

A．不存在	B．有且只有兩條
C．有且只有三條	D．有無數條

Answer 1

D

【思路點撥】以A₁D₁,EF,CD為棱構造平行六面體解決.
解:先說明“對于空間內任意三條兩兩異面的直線a,b,c,與直線a,b,c都相交的直線有無數條”這個結論的正確性.無論兩兩異面的三條直線a,b,c的相對位置如何,總可以構造一個平行六面體ABCD -A₁B₁C₁D₁,使直線AB,B₁C₁,DD₁分別作為直線a,b,c,在棱DD₁的延長線上任取一點M,由點M與直線a確定一個平面α,平面α與直線B₁C₁交于點P,與直線A₁D₁交于點Q,則PQ在平面α內,直線PM不與a平行,設直線PM與a交于點N.這樣的直線MN就同時與直線a,b,c相交.由于點M的取法有無窮多種,因此在空間同時與直線a,b,c相交的直線有無數條.依題意,不難得知題中的直線A₁D₁,EF,CD是兩兩異面的三條直線,由以上結論可知,在空間與直線A₁D₁,EF,CD都相交的直線有無數條,選D.