Question

設非零向量

a

，

b

，

c

，滿足

|a|

=|

b

|=

|c|

，|

a

+

b

|=|

c

|，則sin＜

a

，

b

＞=（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：設

|a|

=|

b

|=

|c|

=t（t＞0），由|

a

+

b

|=|

c

|利用向量模的運算性質，化簡得到

a

•

b

=-

1

2

t2，再根據向量的夾角公式算出cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，從而得到＜

a

，

b

＞=

2π

3

，可得sin＜

a

，

b

＞的值．

解答：解：設

|a|

=|

b

|=

|c|

=t（t＞0），
∵|

a

+

b

|=|

c

|，
∴|

a

+

b

|2=|

c

|2=t2，即|

a

|2 +2

a

•

b

+|

b

|2=t2，化簡得

a

•

b

=-

1

2

t2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

- 1 2 t2

t•t

=-

1

2

∵＜

a

，

b

＞的范圍為[0，π]，
∴＜

a

，

b

＞=

2π

3

，可得sin＜

a

，

b

＞=

3

2

．
故選：C

點評：本題給出非零向量滿足的條件，求夾角

a

、

b

夾角的正弦之值，著重考查了向量的夾角公式、向量模的運算公式及其運算性質等知識，屬于中檔題．