Question

已知C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，直線l：x-y=0與以原點為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，曲線C₂以x軸為對稱軸．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，曲線C₂上任意一點M到l₁距離與MF₂相等，求曲線C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x₀，y₀），是C₂上不同的點，且AB⊥BC，求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據離心率求得a和c的關系，進而根據直線l與圓相切根據圓心到直線的距離為半徑求得b，進而求得a，則橢圓方程可得．
（2））根據|MP|=|MF₂|可知動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它的定點F₂（1，0）的距離，進而根據拋物線的定義可知動點M的軌跡是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，根據定點直線l₁的距離求得拋物線方程中的p，則拋物線方程可得．
（3）由（1）可求得A點坐標，設出B點和C點坐標，表示出

AB

和

BC

根據AB⊥BC可知

AB

•

BC

=0，整理得關于y₂的一元二次方程根據判別式大于等于0求得y₀的范圍．

解答：解：（1）e=

3

3

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，
∴b=

2

，b²=2，
∴a²=3．
∴橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1.
（2）∵|MP|=|MF₂|，
∴動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它的定點F₂（1，0）的距離
∴動點M的軌跡是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，
∴

p

2

=1，p=2，
∴點M的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（3）由（1）知A（1，2），B(

y 2 2

4

，y2)，C(

y 2 0

4

，y0)，y0≠2，y0≠y2，y₂≠2，①則

AB

=(

y 2 2 -4

4

，y2-2)，

BC

=(

y 2 0 - y 2 2

4

，y0-y2)，
又因為AB⊥BC，所以

AB

•

BC

=0，

y 2 2 -4

4

×

y 2 0 - y 2 2

4

+(y2-2)(y0-y2)=0，
整理得y₂²+（y₀+2）y₂+16+2y₀=0，則此方程有解，
∴△=（y₀+2）²-4•（16+2y₀）≥0解得y₀≤-6或y₀≥10，又檢驗條件①：
∵y₂=2時y₀=-6，不符合題意．
∴點C的縱坐標y₀的取值范圍是（-∞，-6）∪[10，+∞）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了圓錐曲線方程，方程的根，與圓錐曲線性質有關的量的取值范圍等問題，是近幾年高考的趨向．