Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)證明： 為等比數列．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意令,把數列的和用項的形式列出,代入已知求出;(2)由已知拆項,化簡為數列的遞推關系式形式,由等比數列的定義以及代入,即可證明.

試題解析:

(1)解：當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.

(2)證明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

因為 4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

所以 4an＋2＋an＝4an＋1，

所以＝＝＝

＝，

所以 數列是以a2－a1＝1為首項，為公比的等比數列．

點睛: 等比數列的判斷方法有：(1)定義法：若 (為非零常數)或 (為非零常數且且)，則是等比數列．(2)中項公式法：在數列中， 且 ()，則數列是等比數列．(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成 (， 均是不為0的常數， )，則是等比數列．