Question

已知F是橢圓的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設O為橢圓的中心，是否存在過F點，斜率為k（k∈R，l≠0）且交橢圓于M、N兩點的直線，當從O點引出射線經過MN的中點P，交橢圓于點Q時，有成立．如果存在，則求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直線AB的方程，從而確定圓心與半徑r=a，利用圓C恰好與直線相切，建立方程，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）假設k存在，將直線方程代入橢圓方程，求出P的坐標，利用且，可得Q的坐標，代入橢圓方程，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設A為橢圓的上頂點，則∵，∴，∴
∴
∴，∴
∴
令y=0，∴，∴
∴圓心為，半徑r=a
∴圓心到直線的距離
∴a=2，∴，∴橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）假設k存在，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y）
由，消去y可得：（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0…（8分）
∴，∴，
又∵且
∴，∴…（11分）
又∵，∴
∴3×64k⁴+4×36k²=12（4k²+3）²
∴16k⁴+12k²=16k⁴+24k²+9
∴12k²+9=0，∴k無實數解，
∴不存在…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定點的坐標是關鍵．