Question

已知a,b,c,d∈R,用分析法證明：ac+bd≤并指明等號何時成立.

Answer 1

見解析

(1)當ac+bd≤0時,≥0,故不等式顯然成立,此時a=b=c=d=0時等號成立.
(2)當ac+bd>0時,要證原不等式成立,只需證(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²),
即證a²c²+2abcd+b²d²≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d².
即證2abcd≤a²d²+b²c²,即0≤(bc-ad)².
因為a,b,c,d∈R,
所以上式恒成立,故不等式成立,此時等號成立的條件為bc=ad.
所以由(1)(2)知原不等式成立.