Question

【題目】如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求點A到平面PBD的距離；
（3）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC與BD交于O點

∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD

以OA、OB所在直線分別x軸，y軸．以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則

∵

∴

∴DB⊥AP

∵AC⊥BD，AC∩AP=A

∴DB⊥平面PAC，又DB平面PDB

∴平面PBD⊥平面PAC

（2）解：設平面PDB的法向量為 ，

由 ，∴

令z1=1得

∵

∴點A到平面PBD的距離 =

（3）解：設平面ABP的法向量 ，

∵ ，∴

∴

∴

∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值為

【解析】（1）先證明AC⊥BD，再利用向量的方法證明DB⊥AP，從而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；（2）求出平面PDB的法向量為 ， ，從而可求點A到平面PBD的距離；（3）求出平面ABP的法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．