Question

【題目】設函數f（x）=aex+ +b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）內的最小值；
（Ⅱ）設曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y= ，求a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設t=ex（t≥1），則
∴
①當a≥1時，y′≥0，∴ 在t≥1上是增函數，
∴當t=1（x=0）時，f（x）的最小值為
②當0＜a＜1時， ，當且僅當at=1（x=﹣lna）時，f（x）的最小值為b+2；
（Ⅱ）求導函數，可得）
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y= ，
∴ ，即 ，解得
【解析】（Ⅰ）設t=ex（t≥1），則 ，求出導函數 ，再進行分類討論：①當a≥1時，y′＞0， 在t≥1上是增函數；②當0＜a＜1時，利用基本不等式 ，當且僅當at=1（x=﹣lna）時，f（x）取得最小值；（Ⅱ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y= ，建立方程組，即可求得a，b的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．