Question

【題目】如圖,在三棱錐中, 底面,. 、分別為和的中點. 為側棱上的動點.

（Ⅰ）求證: 平面;

（Ⅱ）求證:平面平面;

（Ⅲ）試判斷直線與平面是否能夠垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結合幾何關系可證得是平行四邊形，則， 平面

（Ⅱ）由題意結合幾何關系可證得， ，則平面，平面平面;

（Ⅲ）原命題成立，則僅需在平面內再找一條和相交的直線和即可.考查的情況,結合相似三角形的性質可得.

試題解析：

（Ⅰ）證明:∵是三棱柱，

∴三個側面都是平行四邊形, 且，

又∵、分別為和的中點，

∴且，

∴且，

∴是平行四邊形，

∴，

∵平面, 平面，

∴平面.

（Ⅱ）證明:∵底面，

∴底面，

∴，

又∵,，

又∵是中點，

∴，

∵, 平面，

∴平面，

則平面平面;

（Ⅲ）直線與平面能夠垂直,且，

由（Ⅱ）知平面，

∴，

若要使平面,僅需在平面內再找一條和相交的直線和即可.

此時我們取平面內和相交的直線，

若,則與相似，

∴，

∴.