Question

如圖在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求證：BC⊥平面PAC
（2）當D為PB中點時，求AD與平面PAC所成的角的余弦值；
（3）是否存在點E，使得二面角A-DE-P為直二面角，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BC⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內兩相交直線垂直，而PA⊥BC，BC⊥AC，滿足定理所需條件；
（2）建立空間直角坐標系，求出各點坐標，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夾角的公式求出此角即可；
（3）設D點的y軸坐標為a，DE⊥AE，DE⊥PE，當A-DE-P為直二面角時，PE⊥AE，利用垂直，向量的數量積為零建立等式關系，解之即可．
解答：解：（1）
⇒BC⊥平面PAC
（2）建立空間直角坐標系如圖，各點坐標分別為：
P（0，0，1），B（0，1，0），C
∴，
由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴，
故所求二面角的余弦值為
（3）設D點的y軸坐標為a，DE⊥AE，DE⊥PE，當A-DE-P為直二面角時，PE⊥AE
∴，所以符合題意的E存在．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的運用，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．