Question

給出下列四個命題
①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數y=x³與y=3^x的值域相同；
③“a=1”是“函數f（x）=

a-ex

1+aex

是在定義域上的奇函數”的充分不必要條件；
④函數y=（x-1）²與y=2^x-1在區間[0，+∞）上都是減函數
其中正確的命題是

①

．（將所有正確的命題序號填在橫線上）．

Answer 1

分析：根據函數定義域求法，可得①是真命題；根據冪函數與指數函數的值域求法，可得②是假命題；根據函數奇偶性的定義，用比較系數法加以驗證可得③當中應該是充要條件，故不正確；根據二次函數與指數函數的圖象與性質，得到④不正確．由此得到本題的答案．

解答：解：由于y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定義域都是R，
所以①是真命題；
由于函數y=x³的值域是R，而函數y=3^x的值域是（0，+∞）
所以y=x³與y=3^x的值域不相同，可得②是假命題；
對于③，當a=1時，函數f（x）=

a-ex

1+aex

即f(x)=

1-ex

1+ex

，滿足f（-x）=

-1+ex

1+ex

=-f（x）是奇函數；
反之若f（x）=

a-ex

1+aex

是奇函數，由f（-x）=-f（x）比較系數得a=-1
故“a=1”是“函數f（x）=

a-ex

1+aex

是在定義域上的奇函數”的充要條件，可得③是假命題；
對于④，二次函數y=（x-1）²在區間[0，1）上是減函數，在區間（1，+∞）上是增函數
y=2^x-1在區間[0，+∞）上是增函數
因此y=（x-1）²與y=2^x-1在區間[0，+∞）上都不是減函數，得④不正確
綜上所述，其中的正確命題是①
故答案為：①

點評：本題由幾個命題的真假判斷，考查了二次函數、冪函數與指對數函數的圖象與性質，函數的單調性與奇偶性等知識，屬于中檔題．