Question

【題目】已知函數.

（1）若在函數的定義域內存在區間，使得函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，若曲線： 在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求的值或取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1），通過當，當時，求解實數的取值范圍；（2）求出切線方程，轉化在上有且只有一解．構造函數，求出函數有零點，通過求解導函數，討論當時，當時，判斷函數的單調性，利用函數的零點．推出的范圍.

試題解析：（1），即在上有解.

當時顯然成立；

當時，由于函數的圖象的對稱軸，故需且只需，即，解得.故

綜上所述，實數的取值范圍為.

（2）， ，故切線方程為，即.從而方程在上有且只有一解，

設，則在上有且只有一個零點.

又，故函數有零點，則.

當時， ，又不是常數函數，故在上單調遞增，∴函數有且只有一個零點，滿足題意.

當時，由得或且，由得或；由得.故當在上變化時， ， 的變化情況如下表：

根據上表知.

又

∴，故在上，函數又有一個零點，不滿足題意.

綜上所述， .