Question

【題目】已知函數f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．
（1）求f（x）的定義域與最小正周期；
（2）討論f（x）在區間[﹣ ， ]上的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．

∴x≠kπ+ ，即函數的定義域為{x|x≠kπ+ ，k∈Z}，

則f（x）=4tanxcosx（ cosx+ sinx）﹣

=4sinx（ cosx+ sinx）﹣

=2sinxcosx+2 sin2x﹣

=sin2x+ （1﹣cos2x）﹣

=sin2x﹣ cos2x

=2sin（2x﹣ ），

則函數的周期T=

（2）解：由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函數的增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z，

當k=0時，增區間為[﹣ ， ]，k∈Z，

∵x∈[﹣ ， ]，∴此時x∈[﹣ ， ]，

由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函數的減區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z，

當k=﹣1時，減區間為[﹣ ，﹣ ]，k∈Z，

∵x∈[﹣ ， ]，∴此時x∈[﹣ ，﹣ ]，

即在區間[﹣ ， ]上，函數的減區間為∈[﹣ ，﹣ ]，增區間為[﹣ ， ]．

【解析】（1）利用三角函數的誘導公式以及兩角和差的余弦公式，結合三角函數的輔助角公式進行化簡求解即可．（2）利用三角函數的單調性進行求解即可．