Question

(12分)設集合A＝{x|x²－3x＋2＝0}，B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋(a²－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求實數a的值；
(2)若A∪B＝A，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）a的值為－1或－3；
（2）a的取值范圍是a≤－3.

解：由x²－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}.
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a²＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；
當a＝－1時，B＝{x|x²－4＝0}＝{－2,2}，滿足條件；
當a＝－3時，B＝{x|x²－4x＋4＝0}＝{2}，滿足條件；
綜上，a的值為－1或－3；
(2)對于集合B，
Δ＝4(a＋1)²－4(a²－5)＝8(a＋3).
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①當Δ<0，即a<－3時，B＝∅滿足條件；
②當Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}，滿足條件；
③當Δ>0，即a>－3時，B＝A＝{1,2}才能滿足條件，
則由根與系數的關系得
矛盾；
綜上，a的取值范圍是a≤－3.