Question

（2012•濟寧一模）已知函數f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

（0≤?≤

π

2

）為偶函數．
（I）求函數的最小正周期及單調減區間；
（II）把函數的圖象向右平移

π

6

個單位（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析：（I）把函數解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，即為函數解析式的最簡形式，即可求出最小正周期以及單調區間；
（II）由題意根據平移變換求出函數的解析式，然后求出函數的對稱中心即可．

解答：解：（I）函數f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

（2cos²φ-1）=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

cos（2x-2φ）
=sin（2x-2φ-

π

6

）
函數f（x） 為偶函數，則-2φ-

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤?≤

π

2

∴φ=

5π

12

∴f（x）=sin（2x-π）=-sin2x
∴函數的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z  解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
∴函數f（x）的單調遞減區間為[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]k∈Z
（II）由（I）知f（x）=-sin2x
由題意知g（x）=-sin[2（x-

π

6

）]=-sin（2x-

π

3

）
令2x-

π

3

=kπ（k∈Z），則x=

π

6

+

kπ

2

 （k∈Z），
∴函數的對稱中心坐標為（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應用，y=Acos（ωx+φ）型函數的圖象和性質，簡單的三角方程的解法．