設
為實數，函數
(Ⅰ)求
的單調區間與極值；
(Ⅱ)求證：當
且
時，
(Ⅰ)的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
,極小值為
;(Ⅱ) 見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)直接根據導數和零的大小關系求得單調區間，并由單調性求得極值；(Ⅱ)先由導數判斷出
在R內單調遞增，說明對任意
，都有
，而
，從而得證.
試題解析：（１）解：由
知，
．
令
，得
.于是，當
變化時，
和
的變化情況如下表：
故
0 + 單調遞減 
單調遞增 的單調遞減區間是，單調遞增區間是．在處取得極小值，極小值為．
（２）證明：設
，于是
．
由（1）知，對任意
,都有
，所以在R內單調遞增．
于是，當時，對任意，都有，而，
從而對任意，都有
，即
故
考點：1.利用導數研究函數的單調性；2. 利用導數求函數極值3.利用函數的最值證明不等式.
海淀黃岡名師導航系列答案
普通高中同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f（x）＝
＋ax－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a＝1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意
及任意
，
∈[1，2]，恒有
成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線
排，在路南側沿直線
排，現要在矩形區域
內沿直線將與接通．已知
，
，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的
部分的排管費用為每米2萬元，設與
所成的小于
的角為
．
（Ⅰ）求矩形區域內的排管費用
關于的函數關系式；
（Ⅱ）求排管的最小費用及相應的角．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數，e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；(2)若存在x使不等式
>
成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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(其中
).
時,求函數
的單調區間和極值；
時，函數
上有且只有一個零點．
.
的單調性；
的值，使不等式
恒成立.
．
時，求函數
的單調區間；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（
，e是自然對數的底數）.
在（0，
）單調遞減，求a的最小值 
.
的極值，并證明：若
有
； 
，且
，
，證明：
，
，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；
，則
.