Question

【題目】設(shè)整數(shù)數(shù)列{an}共有2n（）項(xiàng)，滿足，，且（）．

（1）當(dāng)時(shí)，寫出滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)確定時(shí)，可確定，再逆推可知有種取法；再依據(jù)可知各有種取法；由于與有關(guān)，當(dāng)確定時(shí)，必然隨之確定，故根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得數(shù)列個(gè)數(shù)為；（2）設(shè)，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值為的項(xiàng)數(shù)可知的取法數(shù)為，再任意指定的值，有種，可知數(shù)列有個(gè)；再化簡，可得最終結(jié)果.

（1）時(shí)，，且

則確定時(shí)，有唯一確定解

又，可知有種取法

若，則，則有種取法

此時(shí)，也有種取法

又，當(dāng)確定時(shí)，隨之確定

故所有滿足條件的數(shù)列共有：個(gè)

滿足條件的所有的數(shù)列的個(gè)數(shù)為

（2）設(shè)，則由得

①

由得，則：

即 ②

用表示中值為的項(xiàng)數(shù)

由②可知也是中值為的項(xiàng)數(shù)，其中

所以的取法數(shù)為

確定后，任意指定的值，有種

由①式可知，應(yīng)取，使得為偶數(shù)

這樣的的取法是唯一的，且確定了的值

從而數(shù)列唯一地對應(yīng)著一個(gè)滿足條件的

所以滿足條件的數(shù)列共有個(gè)

下面化簡

設(shè)

兩展開式右邊乘積中的常數(shù)項(xiàng)恰好為

因?yàn)?/span>，又中的系數(shù)為

所以

所以滿足條件的數(shù)列共有個(gè)