Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE

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CD，△ABC是正三角形．
（Ⅰ）求證：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求平面ABE與平面BCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC、BD的中點M、N，連接AM、EN和MN，則MN

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CD．由AE

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CD，知MN

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AE，由AE⊥平面ABC，知AE⊥AM，所以ABMN為矩形，NE⊥MN．由此入手能夠證明面BCE⊥面CDE．
（Ⅱ）過C作直線l∥AB，則l∥DE，所以面ABC∩面EDC=l．由AB⊥平面ACD，知l⊥面ACD，所以∠ACD即為所求二面角的平面角，由此能求出其結果．

解答：（Ⅰ）證明：取BC、BD的中點M、N，連接AM、EN和MN，
則MN

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CD．
∵AE

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CD，∴MN

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AE，
又AE⊥平面ABC，AM⊆面ABC，∴AE⊥AM，
∴ABMN為矩形，∴NE⊥MN．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，
∵△ACD為正三角形，N為CD的中點，
∴AN⊥CD，又面CDE∩面ACD=CD，
∴AN⊥面CDE，∴CM⊥面CDE，∴面BCE⊥面CDE；
（Ⅱ）解：過C作直線l∥AB，則l∥DE，
∴面ABC∩面EDC=l．
∵AB⊥平面ACD，∴l⊥面ACD，
∴∠ACD即為所求二面角的平面角，為60⁰．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明和求二面角的大小，解題時要認真審題，注意把空間幾何問題等價轉化為平面幾何問題．