Question

已知{a_n}是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n,設集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}.

試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明

(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

(2)A∩B至多有一個元素；

(3)當a₁≠0時，一定有A∩B≠.

Answer 1

(1) 正確(2) 正確(3) 不正確

解析:

(1)正確.在等差數列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(a_n,）的

坐標適合方程y(x+a₁),于是點(a_n, )均在直線y=x+a₁上

(2)正確 設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，當a₁=0時，方程(^*)無解，此時A∩B=；當a₁≠0時，方程(^*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解

∴A∩B至多有一個元素

(3）不正確.取a₁=1,d=1,對一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠,那么據(2）的結論，A∩B中至多有一個元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,這樣的(x₀,y₀）A,產生矛盾，故a₁=1,d=1時A∩B=，所以a₁≠0時，一定有A∩B≠是不正確的.