Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，
分別為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面平面．
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

．證明：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，
∴．
在中，，，
∴．
∴，即．
又，   ∴．…………………2分
∵平面，平面，
∴．又∵，
∴平面，………………………………………4分
又∵平面，
平面平面．  ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面 ………………………6分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．…………………………8分
∴平面是平面與平面的公垂面．
所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．……9分
在中，，即．……………10分
又，
∴．
所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…………12分
理（Ⅱ）解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，
建立空間直角坐標系，如圖．

因為，，∴、、、 6分
則，，．………7分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一個法向量為．……………………8分
設平面的一個法向量為，
則，即，令，
則．    …………………10分
∴．
所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……………12分

略