Question

【題目】已知函數.

(1)當a=1時，求函數在（2，）處的切線方程:

(2)當a=2時，求函數的單調區間和極值;

(3)若在上是單調增函數，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（2）； （2）在上單調遞增，f（x）無極值． （3）

【解析】

（1）當時，求導函數，則函數在處的切線的斜率即為導數值，根據點斜式方程即可求出切線方程；

（2）先求出函數的定義域，把代入到函數中并求出時的值，在定義域內討論導函數的正負得到函數的單調區間及極值；

（3）把代入到中得到的解析式，求出其導函數大于0即函數單調，可設，求出其導函數在上單調遞減，求出的最大值，列出不等數求出解集即為的取值范圍．

解：（1）當時，函數，

則，

函數在處的切線斜率為，切點為；

函數在處的切線方程為：；

即；

（2）函數的定義域為，

當時，，，

則；

在上單調遞增，無極值．

（3）由，得；

又函數在上單調增函數，

則在上恒成立，

即不等式在上恒成立；

也即在上恒成立，

又在為減函數，

所以（1）．

所以．

故的取值范圍為．