Question

【題目】已知函數f（x）=x4﹣2x3 ， g（x）=﹣4x2+4x﹣2，x∈R．
（1）求f（x）的最小值；
（2）證明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）≤0，解得：x≤ ，

故f（x）在（﹣∞， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

故f（x）min=f（ ）= ﹣2× =﹣

（2）證明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．

則F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．

∴F″（x）=12x2﹣12x+8=12 +5＞0．

∴函數F′（x）在R上單調遞增，∴函數F′（x）在R上至多存在一個零點．

又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，

∴函數F′（x）在R上存在一個零點x0∈（0，1）．

∴2 ﹣3 +4x0﹣2=0．

∴函數F（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減；在（x0，+∞）上單調遞增．

∴F（x）min=F（x0）= ﹣2 + ﹣4x0+2= （2 ﹣3 +4x0﹣2）+ ﹣2x0+

= + ＞0，

∴f（x）＞g（x）

【解析】（1）f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），利用導數研究其單調性極值即可得出．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．可得F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．由于F″（x）=12x2﹣12x+8＞0．可得函數F′（x）在R上單調遞增，函數F′（x）在R上至多存在一個零點．又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，可得函數F′（x）在R上存在一個零點x0∈（0，1）．只要證明F（x）min=F（x0）＞0，即可得出．