Question

在銳角△ABC中，下列結論成立的是（　　）

A．sinA＞cosB

B．cosA＞sinB

C．tanA＞tanB

D．sinA＞sinB

Answer 1

分析：由三角形ABC為銳角三角形，得到C為銳角，根據三角形的內角和定理可得A+B大于

π

2

，移項得到A大于

π

2

-B，且A與

π

2

-B都為銳角，
A、由正弦函數在（0，

π

2

）單調遞增，得到sinA大于sin（

π

2

-B），利用誘導公式化簡可得sinA大于cosB，本選項正確；
B、由余弦函數在（0，

π

2

）單調遞減，得到cosA小于cos（

π

2

-B），利用誘導公式化簡可得cosA小于sinB，本選項錯誤；
C、由正切函數在（0，

π

2

）單調遞增，得到tanA大于tan（

π

2

-B），利用誘導公式化簡可得tanA大于cotB，本選項錯誤；
D、根據正弦定理可得只有當a大于b時，sinA大于sinB，而原題沒有此條件，故本選項不一定成立．

解答：解：銳角△ABC中，C為銳角，
∴A+B＞

π

2

，
∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
A、正弦函數在（0，

π

2

）單調遞增，
∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，
本選項正確；
B、余弦函數在（0，

π

2

）單調遞減，
cosA＜cos（

π

2

-B）=sinB，
本選項錯誤；
C、正切函數在（0，

π

2

）單調遞增，
∴tanA＞tan（

π

2

-B）=cotB，
本選項錯誤；
D、根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：當a＞b時，sinA＞sinB，
本選項不一定成立，
故選A

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，以及三角函數的單調性，根據題意得出A＞

π

2

-B解題的關鍵．