Question

已知函數f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解關于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
(2)若函數f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).

試題分析：(1)本題是一個含參不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1進行討論；（2）f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，即為|x－2|>－|x＋3|＋m對任意實數x恒成立，分離參數為|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
所以對任意實數x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.
試題解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，
即|x－2|＋a－1>0，
當a＝1時，解集為x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；
當a>1時，解集為全體實數R；
當a<1時，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，
故解集為(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
(2)f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，即為|x－2|>－|x＋3|＋m對任意實數x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
又對任意實數x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，
即m的取值范圍是(－∞，5)．