Question

選做題：（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題評分）
A．（不等式選做題）不等式

x+5

(x-1)2

≥2的解集是

[-

1

2

，1）∪（1，3]

．
B．（幾何證明選做題） 如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CAP=30°，則PC=

3

3

．
C．（坐標系與參數方程選做題）已知直線x+2y-4=0與

x=2-3cosθ y=1+3sinθ

（θ為參數）相交于A、B兩點，則|AB|=

6

．

Answer 1

分析：（A）由不等式

x+5

(x-1)2

≥2 可得2x²-5x-3≤0，解此一元二次不等式，求得解集．
（B）在圓中線段利用由切線定理求得∠OCP=Rt∠，進而利用直角三角形PCO中的線段，結合解直角三角形求得PC即可．
（C）把參數方程消去參數化為直角坐標方程，表示以（2，1）為圓心，半徑等于3的圓，圓心到直線的距離等于0可得AB為直徑，從而得到AB的值．

解答：解：（A）由不等式

x+5

(x-1)2

≥2 可得2x²-5x-3≤0，解得 x∈[-

1

2

，1）∪（1，3]，
故答案為[-

1

2

，1）∪（1，3]．
（B） 連接OC，由于 PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°，∵∠CPA=30°，∴OC=

AB

2

=3，由tan30°=

3

PC

，求得PC=3

3

．
故答案為 3

3

．
（C）把

x=2-3cosθ y=1+3sinθ

消去參數化為直角坐標方程為 （x-2）²+（y-1）²=9，表示以（2，1）為圓心，半徑等于3的圓．
圓心到直線的距離等于

|2+2-4|

1+4

=0，故AB為直徑，故AB=6，
故答案為 6．

點評：此題考查的是分式不等式的解法，直角三角形的性質、與圓有關的比例線段以及切線定理，把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，
屬于基礎題．