Question

定義域為的函數f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^x+2^-x
（1）請分別指出函數y=f（x）與函數y=g（x）的奇偶性、單調區間、值域和零點；（將結論填入答題卡，不必證）
（2）設h(x)=

f(x)

g(x)

，請判斷函數y=h（x）的奇偶性、單調區間，并證明你的結論．（必要時，可以（1）中的結論作為推理與證明的依據）

Answer 1

分析：（1）利用函數的解析式，直接可以判斷奇偶性、單調區間、值域和零點；
（2）先化簡函數，可得結論，再證明結論成立即可．

解答：解：（1）函數f（x）=2^x-2^-x為奇函數，在R上單調遞增，值域為R，零點為0；函數g（x）=2^x+2^-x為偶函數，在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，值域為[2，+∞），無零點；
（2）h(x)=

f(x)

g(x)

=

2x-2-x

2x+2-x

=

22x-1

22x+1

函數為奇函數，在R為增函數．證明如下：
h(x)=

f(x)

g(x)

的定義域為R，則h（-x）=

2-2x-1

2-2x+1

=

1-22x

1+22x

=-h（x），∴函數為奇函數，
∵h（x）=

22x-1

22x+1

=1-

2

22x+1

，∴h′（x）=

22x+1ln4

(22x+1)2

＞0，∴函數在R為增函數．

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．