Question

已知圓經過點A(2，-1)，圓心在直線2x+y=0上且與直線x-y-1=0相切，求圓的方程.

Answer 1

解析：若選擇圓的一般形式：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F為三個待定系數，則需依題意，建立起三個獨立方程求解.

設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，其圓心為.

∵圓過點A(2，-1)，∴5+2D-E+F=0                    ①

又圓心在直線2x+y=0上，

∴，即2D+E=0                 ②

將y=x-1代入圓方程得

2x²+(D+E-2)x+(1-E+F)=0

Δ=(D+E-2)²-8(1-E+F)=0.                             ③

將①②代入③中，得(-D-2)²-8(1-2D-5)=0

即D²+20D+36=0，∴D=-2或D=-18.

代入①②，得或

故所求圓的方程為x²+y²-2x+4y+3=0或x²+y²-18x+36y+67=0.