【題目】某中學高二年級組織外出參加學業水平考試，出行方式為：乘坐學校定制公交或自行打車前往，大數據分析顯示，當
的學生選擇自行打車，自行打車的平均時間為
(單位:分鐘) ,而乘坐定制公交的平均時間不受
影響,恒為40分鐘,試根據上述分析結果回答下列問題:
（1）當在什么范圍內時,乘坐定制公交的平均時間少于自行打車的平均時間?
（2）求該校學生參加考試平均時間
的表達式:討論的單調性,并說明其實際意義.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）由題意知得到關于x的不等式，求解不等式即可確定乘坐定制公交的平均時間少于自行打車的平均時間時x的取值范圍.
（2）分類討論0＜x≤30和30＜x＜100兩種情況下函數的單調性并說明其實際意義即可.
（1）由題意知，當30＜x＜100時，
f（x）=2x+
-90＞40，
即x2-65x+900＞0，
解得x＜20或x＞45，
∴x∈（45，100）時，乘坐定制公交的平均時間少于自行打車的平均時間；
（2）當0＜x≤30時，
g（x）=30x%+40（1-x%）=40-
；
當30＜x＜100時，
g（x）=（2x+
-90）x%+40（1-x%）=
-
x+58；
∴g（x）=
，
當0＜x＜32.5時，g（x）單調遞減；
當32.5＜x＜100時，g（x）單調遞增；
在
上單調遞減,在
上單調遞增，
說明當
以上的人自駕時，人均通勤時間開始增加.
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【題目】已知數列
中，
，其前
項和
滿足：
.
（1）求數列的通項公式
；
（2）設
，求證： 
；
（3）設
(
為非零整數，
)，是否存在確定的值，使得對任意，有
恒成立.若存在求出的值，若不存在說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
，點
是圓上一動點， 
的垂直平分線與
交于點
.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）設點
的軌跡為曲線
，過點
且斜率不為0的直線
與
交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
，證明直線
過定點，并求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，B為橢圓上任一點，F為橢圓左焦點，已知
的最小值與最大值之和為4，且離心率
，拋物線
的通徑為4．
求橢圓和拋物線的方程；
設坐標原點為O，A為直線
與已知拋物線在第一象限內的交點，且有
．
試用k表示A，B兩點坐標；
是否存在過A，B兩點的直線l，使得線段AB的中點在y軸上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M點為圓心的圓
及其上一點
.
（1）設圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線
上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點且
，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知無窮數列
的各項均為正數，其前
項和為
， 
.
（1）如果
，且對于一切正整數
，均有
，求
；
（2）如果對于一切正整數
，均有
，求
；
（3）如果對于一切正整數
，均有
，證明： 
能被8整除．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過
的包裹收費
元；重量超過
的包裹，除
收費
元之外，超過
的部分，每超出
（不足
，按
計算）需再收
元.該公司將最近承攬的
件包裹的重量統計如下：
包裹重量（單位： |
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包裹件數 |
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公司對近
天，每天攬件數量統計如下表：
包裹件數范圍 |
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包裹件數 （近似處理） |
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天數 |
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以上數據已做近似處理，并將頻率視為概率.
（1）計算該公司未來
天內恰有
天攬件數在
之間的概率；
（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；
（ii）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員
人，每人每天攬件不超過
件，工資
元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減
人，試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位:mm),得到如圖5的莖葉圖,整數位為莖,小數位為葉,如27.1mm的莖為27,葉為1．
(1)試比較甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均值的大小及方差的大小;(只需寫出估計的結論,不需說明理由)
(2)將棉花按纖維長度的長短分成七個等級,分級標準如表:
試分別估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率;
(3)為進一步檢驗甲種棉花的其它質量指標,現從甲種棉花中隨機抽取4根,記
為抽取的棉花纖維長度為二級的根數,求
的分布列和數學期望.
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