Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點為上一點且＝＝＝．

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角的正弦值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由平面平面可得平面，從而可得，分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，計算可得，從而可證平面，即得所要證明的面面垂直.

（2）設，可由直線與平面所成的角的正弦值為得到，再求出平面的一個法向量后利用數量積可求法向量的夾角的余弦值，從而得到二面角的余弦值.

（1）證明：∵平面平面，平面平面＝，

，平面，∴平面，

因為平面，故.又．

分別以、、為軸、軸、軸，

建立空間直角坐標系，不妨設，

可得，

設，

∴，，．

由，，

∴且，

∵、是平面內的相交直線，∴平面．

∵平面，∴平面平面.

（2）由（1）得平面的一個法向量是，．

設直線與平面所成的角為，

則＝，

解得．∵，∴，可得的坐標為．

設平面的一個法向量為，

，，

由，令＝，得．

∴．

由圖形可得二面角的平面角是銳角，

∴ 二面角的平面角的余弦值為．