Question

已知函數f(x)=ln

x+1

x-1

（Ⅰ）求函數的定義域，并證明f(x)=ln

x+1

x-1

在定義域上是奇函數；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當n∈N^*時，試比較f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）與2n+2n²的大小關系．

Answer 1

分析：（I）令對手的真數大于0，求出定義域，求出f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關系，判斷出奇偶性．
（II）先利用對數函數的單調性得到真數的大小，將m分離出來，構造新函數g（x），求出二次函數g（x）的最小值，令m小于最小值．
（III）構造函數h（x），通過導數，求出h（x）的最大值，證出要證的不等式．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f(-x)=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=ln(

x+1

x-1

)-1=-ln

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=ln

x+1

x-1

在定義域上是奇函數．（4分）
（Ⅱ）由x∈[2，6]時，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，∵x∈[2，6]
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，由二次函數的性質可知x∈[2，3]時函數單調遞增，x∈[3，6]時函數單調遞減，x∈[2，6]時，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7（8分）
（Ⅲ）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=ln

3

1

×

5

3

×…×

2n+1

2n-1

=ln(2n+1)
構造函數h(x)=ln(1+x)-(x+

x2

2

)(x＞0)，
h′(x)=

1

x+1

-x-1=

-x2-2x

x+1

當x＞0時，h'（x）＜0，∴h(x)=ln(1+x)-(x+

x2

2

)在（0，+∞）單調遞減，
∴…h（x）＜h（0）=0（12分）
當x=2n（n∈N^*）時，ln（1+2n）-（2n+2n²）＜0∴ln（1+2n）＜2n+2n²（14分）

點評：解決不等式恒成立問題，常采用分離參數，轉化為求函數的最值；證明不等式常通過構造函數，求函數的最值來解決．