Question

（本小題共14分）
已知橢圓C：，左焦點，且離心率
(Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點（不是左、右頂點），且以為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A.   求證：直線過定點,并求出定點的坐標.

Answer 1

(1) (2) 直線過定點，且定點的坐標為 

試題分析：解：（Ⅰ）由題意可知：   ……1分
解得                  ………2分
所以橢圓的方程為：                         ……3分
（II）證明：由方程組   …4分

整理得                         ………..5分
設
則             …….6分
由已知，且橢圓的右頂點為         ………7分
                  ………    8分   

即
也即  …… 10分
整理得：                       ……11分
解得均滿足                       ……12分
當時，直線的方程為，過定點（2，0）與題意矛盾舍去……13分
當時，直線的方程為,過定點    
故直線過定點，且定點的坐標為                          …….14分
點評：解決的關鍵是熟練的根據橢圓的性質來得到橢圓的方程，同時能結合聯立方程組的思想來，韋達定理和垂直關系，得到直線方程，進而求解。屬于基礎題。