Question

給出下列四個命題：
①“向量

a

，

b

的夾角為銳角”的充要條件是“

a

•

b

＞0”；
②如果f（x）=lgx，則對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
③設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“密切區(qū)間”．若f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函數(shù)”，則其“密切區(qū)間”可以是[2，3]；
④記函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），要得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象，可以先將y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位，即得到y(tǒng)=f^-1（1-x）的圖象．
其中真命題的序號是

 

．（請寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以判斷①的真假；根據(jù)根據(jù)函數(shù)凸凹性，可以判斷②的真假；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及絕對值的運(yùn)算法則，可以判斷③的真假；根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則，我們可以得到④的真假；進(jìn)而得到答案．

解答：解：“

a

•

b

＞0”還包括

a

與

b

同向（此時向量

a

，

b

的夾角為0）的情況，故①錯誤；
由于函數(shù)f（x）=lgx，在區(qū)間（0，+∞）上是凸增的，故對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②正確；
當(dāng)f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3時，|f（x）-g（x）|=|x²-5x+7|，∵在區(qū)間[2，3]上|x²-5x+7|∈[0，1]，故③正確；
先將y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位，可以得到y(tǒng)=f′（-x-1）的圖象，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是數(shù)量積表示兩個向量的夾角，函數(shù)的圖象的變換，函數(shù)的值域，及對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其中熟練掌握初等基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．