Question

已知如圖，A、B是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右頂點，直線x=t（-2＜t＜2）交橢圓于M、N兩點，經過A、M、N的圓的圓心為C₁，經過B、M、N的圓的圓心為C₂．
（1）求證|C₁C₂|為定值；
（2）求圓C₁與圓C₂的面積之和的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓方程可求得A，B的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立求得M，N的坐標，設C₁（x₁，0），C₂（x₂，0），根據半徑相等建立等式求得x₁和x₂的表達式，進而求得|C₁C₂|=x₂-x₁結果為常數．原式得證．
（2）依題意可分別表示出兩個圓的半徑，進而根據圓的面積公式求得S，進而二次函數的性質求得答案．

解答：解：（1）由題設A（-2，0），B（2，0），
由

x=t x2 4 +y2=1

解出M(t，

1- t2 4

)，N(t，-

1- t2 4

)．
設C₁（x₁，0），C₂（x₂，0），由x1+2=

(t-x1)2+1- t2 4

解出x1=

3(t-2)

8

．
同理，2-x2=

(x 2-t)2+1- t2 4

解出x2=

3(t+2)

8

，|C1C2|=x2-x1=

3

2

（定值）．
（2）兩圓半徑分別為x1+2=

3t+10

8

及2-x2=

10-3t

8

，
兩圓面積和S=

π

64

[(3t+10)2+(10-3t)2]=

π

32

(9t2+100)，
因為-2＜t＜2，所以0≤t²＜4，所以S的取值范圍是[

25π

8

，

61π

8

)．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了橢圓與圓的位置關系，圓的面積公式，點與點之間的距離公式．