Question

已知橢圓C:的左，右焦點分別為，過 的直線L與橢圓C相交 A,B于兩點，且直線L的傾斜角為，點到直線L的距離為 ，
(1)  求橢圓C的焦距.(2)如果求橢圓C的方程.(12分)

Answer 1

(1)焦距2c=4（2）橢圓C的方程為。

試題分析：(1)由點到直線的距離公式可求出c=2.從而得到焦距2c=4.
(2)  因為直線l過點F₂（2，0），可設(shè)直線L的方程為，它與橢圓的方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理，得到y(tǒng)₁+y₂,y₁y₂,然后再利用,
得到,這三個式子結(jié)合可求出a,b.從而得到橢圓的方程.
(1)∵點到直線L的距離為，∴易得，∴c=2
∴焦距2c=4(5分).
（2）∵，又過 的直線L的傾斜角為，∴直線L的方程為，得設(shè)，，解得，
∵，∴，∴a="3," ∴.
橢圓C的方程為（12分）
點評：（1）本題涉及到點到直線的距離公式：則點P到直線l的距離.
（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一般要通過韋達(dá)定理及判別式來解決.