Question

【題目】已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設拋物線的焦點在直線的下方.

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（2）四邊形不可能為梯形，理由詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）（Ⅰ）直線過點 ，且斜率為k，所以直線方程可設為，若焦點在直線的下方，則滿足不等式，代入求的范圍；（Ⅱ）設直線的方程為，，分別與拋物線聯立，因為直線和拋物線的一個交點坐標已知，故可利用韋達定理求出切點的橫坐標，則可求在點處的切線斜率，若四邊形是否為梯形，則有得或，根據斜率相等列方程，所得方程無解，故四邊形不是梯形.

試題解析：（Ⅰ）解：拋物線的焦點為.由題意，得直線的方程為，

令，得，即直線與y軸相交于點.因為拋物線的焦點在直線的下方，

所以，解得，因為，所以.

（Ⅱ）解：結論：四邊形不可能為梯形.理由如下：

假設四邊形為梯形.由題意，設，，，

聯立方程，消去y，得，由韋達定理，得，所以.

同理，得.對函數求導，得，所以拋物線在點處的切線的斜率為，拋物線在點處的切線的斜率為.

由四邊形為梯形，得或.

若，則，即，因為方程無解，所以與不平行.

若，則，即，因為方程無解，所以與不平行.所以四邊形不是梯形，與假設矛盾.因此四邊形不可能為梯形.